本文列舉的公式適用于TM/COT模式即電感電流都將降為零的控制模式# PFC BOOST電路常見計算公式

輸入交流電流

輸入電壓為一個正弦波，故其輸入電流也為一個正弦波，其數學表達式如下

$I_{in}=\sqrt{2}\times\frac{P_{inavg}}{V_{inRMS}}\times\sin(\omega*t)$

根據三角函數的特性，sin值為0-1范圍，故Iin

$0\leq I_{in}\leq\sqrt{2} \times \frac{P_{inavg}}{V_{inRMS}}$

BOOST電感電流

電感峰值電流

由于電源輸入端會有EMI電路，其中低通濾波器和BOOST升壓電感的作用，輸入交流電流是呈現準三角波的電感電流的平均值，同時三角波的峰值是其平均值的2倍。

$I_{L_pk}=2\times I_{inavg}$

電感電流平均值

根據升壓變化器特性，其電感電流的平均值等于輸入電流的平均值

$I_{Lavg}=I_{in}=\sqrt{2}\times\frac{P_{inavg}}{V_{inRMS}}\times\sin(\omega*t)$

電感電流有效值

由于輸入電流為一個準三角波，其有效值是平均值的 $2/\sqrt{3}$ 倍，其推導公式可以參考后面，故其有效值方程如下

$I_{Lrms(t)}=\sqrt{2}\times\frac{P_{inavg}}{V_{inRMS}}\times\sin(\omega*t) \times \frac{2}{\sqrt{3}}$

在一個周期內對上述公式進行積分運算可得

$I_{Lrms}=\frac{P_{inavg}}{V_{inRMS}} \times \frac{2}{\sqrt{3}}$

準三角波有效值與平均值比值推導有效值積分表達式

$Irms^{2}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} ({I(t)^{2}} \times dt$

進行對積分進行定積分計算后得

$\int_{0}^{T} ({I(t)^{2}} \times dt= \frac{(Ipeak)^{2}\times T }{3}$

故

$Irms^{2}= \frac{1}{T}\int_{0}^{T} ({I(t)^{2}} \times dt= \frac{(Ipeak)^{2}}{3}$

$I_{rms}= \frac{I_{peak}}{\sqrt{3}}$

由于

$I_{peak}=2\times I_{avg}$

兩式聯立得

$I_{rms}=2/\sqrt{3} I_{avg}$

PFC工作頻率

根據電感電流公式

$U=L\times\frac{I}{T}$

可以計算

開關管導通時間

$T_{on}=\frac{L\times I_{Lpk}}{V_{in}}$

開關管關閉時間

$T_{off}=\frac{L\times I_{Lpk}}{V_{out}-V_{in}}$

整個系統開關頻率可得

$f_{s}=\frac{1}{T_{on}+T_{off}}=\frac{V_{in}\times (V_{out}-V_{in})}{V_{out}\times L \times I_{pk}}$

$= \frac{ \sqrt{2}\times V_{inRMS}\times \sin (\omega \times t)\times (V_{out}-\sqrt{2} \times V_{inRMS} \times \sin(\omega\times t)) }{V_{out}\times L \times 2\times \sqrt{2}\times \frac{P_{inavg}}{V_{inRMS}}\times\sin(\omega\times t)}$

$f_{s}=\frac{V_{inRMS}^{2}}{2\times P_{inavg}\times L} \times (1- \frac{\sqrt{2} \times V_{inRMS} \times \sin (\omega \times t)}{V_{out}})$

從上述約分后的表達式中可以得出以下結論

1. 開關頻率與輸入功率和電感值的乘積呈現反比特性。

2. 在固定輸出電壓的情況下，最低頻率發生出現每個正弦波半周期的峰值，最高頻率出現在正弦波的最低值。

開關頻率上下限

由于人耳可以聽到的頻率范圍在20KHz內故，變壓器在265Vac輸入時最低頻率應保持在20KHz以上，一般設計時保留一定的余量，設置在30-40KHz范圍內，另外由于EMI測試范圍點為150KHz,> 為了便于后續認證測試，其最高頻率點因設置在150KHz內，最好在75KHz

在數學表達式中我們可以得出其頻率最大點發生在最大輸入電壓時，而輸入電壓時其頻率最高，但由于其輸入范圍不是一個線性函數，而是正弦函數，故需要通過微分的方式進行計算：

故在電壓方向上對頻率進行微分

$\frac{\text{d}f_{s}}{\text{d}V_{inRMS}} = \frac{1}{2\times P_{inavg} \times L} \times (\sqrt{2} \times V_{inRMS}- \frac{3\sqrt{2}\times V_{inRMS}^{2}}{V_{out}})=0$

該方程式的根為

$1. V_{inRMS_1} = 0;$

$2. V_{inRMS_2} =\frac{2\times V_{out}}{3\times\sqrt{2}} \cong 0.47\times V_{out};$

將根2代入頻率公式可以得

$f_{max} = \frac{V_{out}^{2}}{27\times P_{inavg} \times L}$

開關管頻率平均值

由于PFC在工作時，其頻率是個變化值計算電感和頻率時取的使其極限值進行分析，但是考慮到MOS損耗與頻率有關，故需要對頻率的平均值有一定的了解從而為后續效率評估提供一定的參考值。所以對平均值進行基本計算

計算平均值需要對一個交流輸入電壓周期內對頻率進行積分。根據之前推導出的頻率公式進行積分運算

$f_{savg} = \frac{\omega}{\pi}\times \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{V_{inrms}^{2}}{2\times P_{inavg} \times L}\times (1-\frac{\ \sqrt{2}\times V_{inrms} \times \sin (\omega \times t) }{V_{out}}))dt$

得

$f_{savg} = \frac{V_{inrms}^{2}}{2\times P_{inavg} \times L} \times (1-\frac{2\times \sqrt{2}\times V_{inrms}}{\pi\times V_{out}})$

從上式可以看出電感感量與頻率成負相關，即電感越大頻率越小，開關管開通和關斷損耗小

MOS管電流

MOS管有效電流

計算MOS管有效電流可用MOS選型。同時可用于評估采樣電阻功耗

流過MOS管電流，電感電流和續流二極管的電流波形如下

當MOS管導通時，流過MOS管的峰值電流和流過電感的峰值電流是相等的，但MOS管關斷時，電感電流由升壓電路中的續流二極管流入輸出電容和負載，而不流過MOS管，所以其波形為一個鋸齒波。另外開關管的占空比公式如下

$D=\frac{V_{out}-\sqrt{2}\times V_{inRMS}\times \sin(\omega\times t)}{V_{out}}$

鋸齒波的有效電流與峰值電流之比為 $\sqrt{\frac{D}{3}}$ ”推導過程在后面”

所以有效電流表達式如下

$I_{rms}=I_{pk}\times \sqrt{\frac{D}{3}} =\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{P_{inavg}}{V_{inrms}}\times\sqrt{D} \times \sin(\omega \times t)$

將占空比公式代入計算得

$I_{rms}=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{P_{inavg}}{V_{inrms}}\times \sqrt{1-1.2\times\frac{V_{inRMS}}{V_{out}}}$

鋸齒波的有效電流與峰值電流之比的推導已知有效值為均方根值，故

$Irms^{2}= \frac{I_{1}^{2} + I_{2}^{2}+ .....I_{n}^{2}}{n}$

由于電流在不同時間具有不同的值對公式進行積分換算得

$Irms^{2}=\int_{0}^{Ton} (\frac{Ipeak}{Ton})^{2} \times dt \times \frac{1}{Ton+ Toff}$

對積分進行變換得

$Irms=Ipeak \times \sqrt{\frac{Dmax}{3}}$

續流二極管電流

由于輸出電容的直流電壓是恒定的，故輸入二極管電流等于負載電流。在一個開關周期內流過二極管的平均電流數學表達式為

$I_{davg}(t)=\frac{P_{in}}{V_{out}}=\frac{V_{in}\times I_{in}}{V_{out}}$

$=\frac{\sqrt{2}\times V_{inrms}\times \sin(\omega\times t)\times\sqrt{2}\times I_{inrms}\times sin(\omega\times t)}{V_{out}}$

$=\frac{\ 2\times V_{inrms}\times I_{inrms}\times \sin(\omega\times t)^{2}}{V_{out}}$

對公式進行化解可得一個直流分量和交流分量

$I_{davg}(t)=I_{out}\times [1-\cos(2\omega\times t)]$

輸出紋波電壓

輸出紋波電壓由輸出電解電容和流過電解電容的交流電來決定的，流過電解電容的交流電流為流過二極管的電流和輸出負載電流之差。即紋波電流為平均電流中的交流分量

$I_{c(ripple)}=I_{out}\times \cos(2\omega t)$

輸出紋波電壓為

$V_{out(ripple)} = \frac{1}{C_{out}}\times\int_{}^{}I_{out}\times\cos(2\omega t)dt$

$=\frac{I_{out}}{2\times\omega\times C_{out}}\times\sin(2\omega t)$

$V_{out(p-p)}=\frac{I_{out}}{\omega \times C_{out}}$

電感磁芯計算

電感Ap法求磁芯尺寸

使用過Ve法計算過，計算得體積過大，不太適用，可能是由于TM模式頻率不斷變化且最小頻率比較大，所以其數學表達式計算結果偏大

因為導通時間隨輸入電壓平方成反比，因此應當在最低電壓下選擇磁芯尺寸，只要在最低輸入電壓峰值時避免飽和

$\sqrt{2}\times U_{imin}\times T_{on} = N\times A_{e} \times B_{m}$

又由于

$A_{w}= \frac{N \times I_{inmax}}{k_{w} \times j}$

兩式聯立

$A_{p}=A_{e} \times A_{w} =\frac{\sqrt{2} \times U_{imin} \times I_{imax} \times T_{on}}{B_{m} \times j \times k_{w}} = \frac{\sqrt{2} \times \eta \times P_{in} \times T_{on} }{B_{m} \times j \times 10^{-4} \times k_{w}}$

其中導線電流密度 j=400-600A/cm2, 式中 $10^{-4}$ 是對導線電流密度的單位換算窗口利用率 $k_{w}$ 一般為0.2-0.4 取0.2，Ton的單位為s 計算結果單位為 $cm^{4}$

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PFC Boost電路設計中涉及的數學公式